近日，北京理工大学物理学院路翠翠教授课题组和香港大学张霜教授课题组合作，实现了开放等频率面系统的朗道能级，并在实验上构建了具有开放等频率面的第二类狄拉克超构表面，观测到超构表面中的朗道零模。相关研究成果以“Realizing Landau levels with open equifrequency contours around band singularities”为题发表在《Nature Communications》上。北京理工大学路翠翠教授还与同济大学郭志伟副教授、清华大学刘永椿副教授、香港大学张霜教授课题组合作，将人工规范场物理拓展至高阶朗道模式研究，通过引入虚动量，实现了对高阶朗道模式的重塑。相关研究成果以“Non-Hermitian reshaping of high-order Landau modes”为题发表在《Science Bulletin》上。

1930年，朗道在研究带电粒子在垂直磁场中做圆周运动时，从量子力学理论发现其能量会发生量子化，形成一系列离散能级，定义为朗道能级。对应的波函数具有类似谐振子的解（原理上有无穷多个解），因此不同阶次的朗道模式满足厄米特多项式函数分布，零阶朗道模式具有高斯分布，而随着阶次的增加，波峰越多，模式越扩散。由于光学、声学、力学等经典波体系对磁场几乎没有响应，近年来，通过人工结构构建赝磁场（也称为人工规范场）成为实现不带电体系的朗道能级的主要思路。传统理论认为，朗道能级的存在依赖动量空间封闭的等频率面（例如第一类狄拉克或外尔系统），以形成周期性回旋轨道；而开放等频率面的系统，例如在第二类狄拉克或外尔系统，其简并点附近的等频率面是双曲线型，粒子轨道无界，施加磁场不能产生朗道能级，极大限制了拓扑光子学的体系范围，使具有开放色散的新奇光子态难以实现朗道量子化效应（如图1所示）。

图1. 第一类和第二类狄拉克体系中朗道能级形成的半经典物理图像。a.能带与截平面（灰色面）在动量–能量空间的交截关系。b.将图a中的交截曲线投影至动量平面，投影曲线继承动量–能量空间内二次圆锥曲线的分类规律：圆锥曲线闭合（圆/椭圆）时体系存在朗道能级；曲线开放（抛物线/双曲线）时朗道能级消失。c.粒子在实空间的运动轨迹(I)施加z方向磁场时，第一类狄拉克体系准粒子轨迹为闭合环路；(II)额外引入y方向电场后，粒子在y方向仍受束缚，同时沿x方向漂移；(III) 施加z方向磁场时，第二类狄拉克体系粒子在 x、y 两个方向均无法被束缚；(IV) 叠加 y方向电场后，粒子在y方向受限并沿x方向漂移。

研究发现，尽管单纯施加磁场无法在开放等频率面系统中产生朗道能级，但引入合适的电场后，能够将开放的等频率面系统转化为闭合的等频率面系统，产生朗道能级。超构材料和超构表面能够通过人工设计产生天然材料不具备的性质，为验证人工规范场朗道能级提供了重要的实验平台。前期研究团队通过构建超构材料实现了具有贝利偶极子的能带和方向性朗道能级，为控制经典波的定向传输提供一种新型拓扑物理机制（Physical Review Letters 134,116604, 2025）；并通过构建超构材料实现了具有张量单极子的四维系统，观测到三维子系统中费米弧和狄拉克锥两种不同的拓扑表面态（Physical Review Letters 134,186601, 2025），这些工作为构建人工规范场提供了重要平台。在该工作中，研究团队利用超构材料高度可设计的优势，设计了基于耶路撒冷十字单元的第二类狄拉克超构表面，在微波波段观测到倾斜的狄拉克点与双曲线开放等频轮廓（如图2所示）。

图2. 周期性结构单元超构表面及其色散特性。a.正方晶格单胞结构；b.能带色散仿真结果，在9.1GHz附近存在简并点，对应第二类狄拉克能带。仿真（c）和实验测试（d）的第一布里渊区能带色散。狄拉克点附近等频率面轮廓呈双曲色散。

通过超构表面单元结构的空间渐变精准地构建了人工磁场和人工电场。近场扫描实验显示，在人工电场和人工磁场的协同作用下，超构表面支持一系列倾斜线性离散能带，零阶朗道模式呈现高斯型局域场分布；而仅施加人工磁场或无人工规范场的周期性结构样品中，无任何朗道量子化特征（如图3所示）。该工作将朗道量子化从封闭色散体系拓展至开放色散体系，打破了业界认为的开放等频率面系统不存在朗道能级的传统认知，为倾斜狄拉克材料的量子化调控和人工规范场物理提供了平台。

北京理工大学路翠翠教授和香港大学游欧波博士后（现为上海交通大学助理研究员）为论文的共同第一作者，路翠翠教授和香港大学张霜教授为论文的通讯作者，北京理工大学博士研究生郑焱基、王志浩、硕士研究生马文硕，复旦大学马少杰青年研究员，香港大学博士研究生杨青东、博士后詹勋奇和清华大学刘永椿副教授都深度参与了本工作。

图3. 人工电场与人工磁场共同作用下朗道能级的实验观测。a.实验测试平台图；右图为局部放大图：通过空间结构参数实现人工电场与磁场复合规范场，仅调控一个参数可单独构造人工磁场。同时具有人工电场和磁场的超构表面结构实验测试（b）和仿真（c）的能带；人工磁场主导的超构表面结构实验测试（d）和仿真（e）的能带；无规范场的周期超构表面结构实验测试（f）和仿真（g）的能带。h.三类样品在指定频率的y方向电场分布仿真结果。

已实现的朗道能级的相关研究主要聚焦于零阶（n=0）朗道模式，而高阶（|n|=1,2,3…）朗道模式具有丰富的空间分布和更宽的频率覆盖范围，可提供极高的模式调控自由度和海量信息信道，具备重要的应用潜力。然而，高阶朗道模式存在空间分布发散、能级高度简并的特性，物理上缺乏调控方法。为解决高阶朗道模式难以调控的困难，提出同时构建虚动量、人工磁场和人工电场对高阶朗道模式进行协同调控，在非厄米体系中成功对高阶朗道模式进行重塑，实现了其在频率、空间位置和波束包络的自由调控。此外，该研究解析地给出了高阶朗道模式能量-空间位置-波束包络的映射关系，建立了一套完整普适的调控高阶朗道模式的理论框架(图4)。

图4. 非厄米重塑高阶朗道模式示意图。(a) 一维情况下虚动量对非厄米谐振子波函数的重塑。(b) 无质量狄拉克粒子的能谱。(c) 连续的能谱在磁场下分裂形成一系列朗道能级。(d) 和 (e) 分别展示了一阶和二阶朗道模式在四种不同条件下的空间分布与频率演化。(f) 磁场和电场共同作用下，朗道能级简并被打破。

为在可观测的物理模型中验证上述机制，研究团队进一步设计了对应的晶格模型：通过在y方向引入梯度耦合强度来实现赝磁场，并在x方向引入梯度在位势来实现赝电场，通过引入晶格间的非互易耦合实现虚动量的作用，从而完成对高阶朗道模式波束包络重塑（图5）。在实验上，研究团队搭建了非厄米电路平台，沿y方向和x方向分别构建梯度变化的电容，等效产生磁场和电场，并在节点间通过电压跟随器实现非互易耦合，从而引入虚动量。通过记录不同频率下的稳态电压分布来表征虚动量对高阶朗道模式的重塑效应，与理论预测高度吻合。这项工作不仅为高阶朗道模式的实际应用开辟了新路径，也为探索其在频率复用与波包重塑领域的应用提供了普适性思路与研究平台。

图5. 晶格模型中的非厄米重塑高阶朗道模式。(a) 蜂窝晶格模型示意图。(b)超胞耦合沿y方向变化图。(c) 赝磁场下的能谱分布 (PR值越小，模式越局域)。(d) 赝磁场和虚动量下的能谱分布。(e) 沿x方向在位势变化图。(f) 在赝磁场、赝电场与虚动量共同作用下的有限尺寸晶格能谱。

北京理工大学博士研究生王志浩和同济大学博士研究生姜杰为该论文的共同第一作者，北京理工大学路翠翠教授、香港大学张霜教授、清华大学刘永椿副教授和同济大学郭志伟副教授为该论文的通讯作者，北京理工大学博士研究生郑焱基、赵闻和清华大学博士研究生王晨阳都深度参与了该工作。

相关工作得到了科技部重点研发计划、国家自然科学基金、新基石科学基金、香港研究资助局、北京理工大学等的大力支持。

文章信息：

（1）Cuicui Lu#*, Oubo You#, Yanji Zheng, Shaojie Ma, Qingdong Yang, Hsun-Chi Chan, Zhihao Wang, Wenshuo Ma, Yong-Chun Liu, and Shuang Zhang*, Realizing Landau levels with open equifrequency contours around band singularities, Nature Communications 17, 4889(2026).

（2）Zhihao Wang#, Jie Jiang#, Yanji Zheng, Wen Zhao, Chenyang Wang, Zhiwei Guo*, Yong-Chun Liu*, Shuang Zhang*, Cuicui Lu*, Non-Hermitian reshaping of high-order Landau modes, Science Bulletin 71, 1949 (2026).

文章链接：

https://www.nature.com/articles/s41467-026-70879-1

https://doi.org/10.1016/j.scib.2026.03.020