日前，北京理工大学数学与统计学院朱蓉禅教授在国际顶级学术期刊《Communications on Pure and Applied Mathematics》上发表了题为《On Ill- and Well-Posedness of Dissipative Martingale Solutions to Stochastic 3D Euler Equations》的研究论文。该研究首次对于随机三维欧拉方程提出了耗散鞅解的概念并证明了耗散鞅解的存在性、弱强唯一性、分布不唯一、马氏解的存在性和不唯一性。更进一步，朱蓉禅教授和合作者证明了随机三维Navier-Stokes方程的马氏解不唯一，并对随机三维Navier-Stokes方程首次构造了概率意义的强解，解决了随机偏微分方程领域一个困扰多年的问题。相关结果近期被概率论顶级期刊《The Annals of probability》接收。

三维Navier-Stokes方程和三维欧拉方程是流体方程中的重要模型，被很多数学家广泛研究。关于三维Navier-Stokes方程整体光滑解的存在性是Clay所千禧年问题之一。随机流体方程由于更容易得到遍历性，被作为研究湍流的重要模型。Kolmogolov1941年给出了湍流满足统计规律的形式推导，其严格数学证明是一个公开问题。最近确定的流体方程由于凸积分方法有了很大发展，包括Isett证明了三维欧拉方程的Onsager猜想，Buckermaster-Vicol（2019 Clay联合研究奖）证明了三维Navier-Stokes方程弱解的不唯一结果。朱蓉禅教授和合作者的研究首次将凸积分方法用于研究随机流体方程，并讨论了解的分布性质，研究了随机三维欧拉方程和Navier-Stokes方程解的分布性质，得到了解的分布不唯一。进一步，论文对于随机三维欧拉/Navier-Stokes方程提出了合适的鞅解概念，由此可以构造马氏过程解，并得到马氏过程解的不唯一。相关结果被Clay奖获得者美国科朗所Vicol教授在[Bull. Amer.Math. Soc. 58(1):1-44, 2021]中评价为Remarkable的工作。

对于随机三维欧拉/Navier-Stokes方程由于无法得到轨道唯一性，如何构造概率意义的强解是随机偏微分方程领域的公开问题。论文通过引入凸积分方法给出构造随机偏微分方程解新的迭代消去方法，由此首次构造了随机三维欧拉/Navier-Stokes方程的概率意义上的强解。

该研究工作由朱蓉禅教授和德国比勒菲尔德大学的Hofmanova教授与中科院数学与系统科学院朱湘禅研究员合作完成。朱蓉禅教授为本文的通讯作者。本工作得到国家自然科学基金的支持。

论文链接地址：https://onlinelibrary.wiley.com/doi/10.1002/cpa.22023

附课题组及负责人简介：

北京理工大学数学与统计学院概率团队积极开展实质性国际合作研究，取得了一系列重要研究成果。

朱蓉禅，教授，博士生导师，本科毕业于四川大学、博士由中科院数学与系统科学研究院与德国比勒菲尔德大学联合培养。德国比勒菲尔德大学访问学者。长期从事随机偏微分方程、狄氏型、随机分析的研究工作，先后主持/完成了国国家自然科学基金优秀青年基金项目、面上项目、青年项目。以第一/通讯作者在Communications on Pure and Applied Mathematics, The Annals of Probability, Probability Theory and Related Fields, Communication in Mathematical Physics, Journal of Functional Analysis等期刊发表SCI论文30余篇。